Question

一道数学难题，求详解

李老师从油条的制作受到启发，设计了一个数学题，在数轴上截取从原点到1的对应点的线段AB。，对折后（点A与B重合）再均匀的拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（如在第一次操作后，原线段AB上的1/4，3/4均变成1/2,1/2变成1等）.那么在线段AB上（除A,B）的点中，在第n次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数之和是多少？还有第2次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应所对应的数之和是多少？

请大家认真答题，帮我分析下题目什么意思，还有尽可能的把多种理解的答案写上。不要复制的，谢谢

Answer 1

在第1次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数是1/2
在第2次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数是1/2x1/2=1/4
在第3次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数是1/4x1/2=1/8
....(这个恰好被拉到与1重合的点所对应的数是原来数轴上截取从原点到1的对应点的线段AB上的数，不要想复杂了，类似油条，反过来思考若没被拉伸对折点是不是都在1/2,1/4....上呢）

追问

第2次答案是1

追答

第2次操作后 恰好被拉到与1重合的点所对应所对应的数有1/4,3/4（对折后的）两处 所以之和为1

追问

那你干嘛写的是1/4？

追答

这个 “所对应的数之和”没太注意理解
更正
在第1次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数是1/2
在第2次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数是1/4,3/4 （2/4被重叠到头部）
在第3次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数是1/8,2/8,3/8,(4/8被重叠到头部）,5/8,6/8,7/8
...
n ....................................1/2^n,2/2^n,3/2^n,....(1/2被重叠到头部),... (2^n-1)/2^n

追问

但是第2次结果是1，按你这个最后的公式是二分之一呀，我觉得应是(2^n-1)/2，若N等于2，则最后结果就是1了

追答

你反应太快了 我准备修改 你就追问来不及修改 再回答了

在第1次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数是1/2——（1个数）
在第2次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数是1/4,3/4 （1/2被重叠到头部）（2个数）
在第3次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数是1/8,,3/8,5/8,7/8 （四个数）
在第4次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数是1/16, 3/16,5/16,...15/16（八个数）
（去掉上面1+2+4个 以及16/16=1共八个）
...
n .................................1/2^n,3/2^n....（共2^(n-1)个数）

在第n次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数之和1/2^n+3/2^n+5/2^n+...(2^n-1)/2^n

追问

那是不是我刚说的那个是对的？请回答，谢谢

追答

不对 应是
在第n次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数之和1/2^n+3/2^n+5/2^n+...(2^n-1)/2^n
=（1+3+。。。++...(2^n-1))(1/2^n)
=2^(n-2)

当n=2时 2^(2-2)=1
当n=3时 2^(3-2)=2
.....

Answer 2

略加分析，只是容易被拉伸误导，其实不用拉伸，直接对折两次，留在最右端的点就是与1重合的点，分别是1/4，3/4，之和为1

追问

那N次呢？

追答

一次操作中，AB点中，一个点--AB中点被拉到单位1，（此处1/2取1的，没有半个点）
第2次操作，2个点--AC中点，BC中点--被拉到单位1，
以此类推，第三次，4个点，第4次，8个点……
第n次，就是2^（n-1）个点
和=1+2+4+8+……+2^（n-1）
这是一个等比数列的求和
Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =1(1-2^n)/(1-2) =2^n-1

追问

此处1/2取1的，没有半个点） 这是什么意思？

还有2^n-1 这个如果N是2，那最后结果是2呀，不是你刚说的1呀
到底是第n次的数字和还是所有次数的和？

我语文不好，你帮我看看，这到底是求什么的和？谢谢
谢谢，我明白了，但我已经选最佳了，不能选你了，谢谢你

Answer 3

ywlebl
123
203

795

Answer 4

答案：1 ）——（老师讲过）