Question

如图，AB是圆O的直径，BC是弦，延长BC到D，使CD=BC，CE切圆O于点C，交AD于E，求证：CE⊥AD。

为什么由CE切⊙O于C得到 ∠ACE=∠CBA
可不可以由AC为BD的中垂线直接得到AD=AB呢？
可不可以给出一个详细的步骤？

Answer 1

∵AB为⊙O直径
∴∠ACB=90º
∵CD=BC
∴AC为BD中垂线
∴∠BAC=∠DAC
∵CE切⊙O于C
∴∠ACE=∠CBA
∴∠BCA=∠CEA=90º
∴ CE⊥AD。

Answer 2

证明：连接AC、OC
∵直径AB
∴∠ACB＝90
∴∠OCB+∠OCA＝90, ∠B+∠BAC＝90,∠ACD＝∠ACB＝90
∵CE切圆O于E
∴∠OCE＝90
∴∠ACE+∠OCA＝90
∴∠ACE＝∠OCB
∵OB＝OC
∴∠B＝∠OCB
∴∠B＝∠ACE
∴∠ACE+∠BAC＝90
∵BC＝CD，AC＝AC
∴△ABC≌△ADC （SAS）
∴∠BAC＝∠DAC
∴∠ACE+∠DAC＝90
∴∠AEC＝180-（∠ACE+∠DAC）＝90
∴CE⊥AD

∠ACE、∠CBA所对应圆弧都为劣弧AC
所以∠ACE＝∠CBA，实际上是可以直接用的，不用像我这样绕一圈再回来证明。