Question

如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，且BD=CF，BE=CD，G是EF的中点，求证：DG⊥EF

Answer 1

证明：连接DE与DF，因为AB=AC，所以∠B=∠C，又因为BD=CF,BE=CD，所以
⊿BDE≌⊿CFD，得DE=DF，G是EF的中点，所以EG=GF ,DG公共，所以⊿DEG≌⊿DFG，则
∠EGD=∠FGD=90°，得证。

由已知得，△ABC为等腰三角形
∴∠B=∠C
在中
由已知BE=CD,BD=CF，且∠B=∠C
∴△EBD≌△DCF
所以ED=DF
即△EDF为等腰三角形，EF为底边
又∵G是EF的中点，即DG是底边EF上的高（中线、顶角的平分线）
∴DG⊥EF

Answer 2

证明：如图连结DE、DF，因为AB=AC，所以有∠ABC=∠ACB，即∠EBD=∠DCF。
又因为BD=CF，BE=CD，所以△EBD与△DCF全等。（全等三角形边角边定理）
所以有DE=DF，所以△EDF是等腰三角形。又因为G为EF的中点，所以DG为等腰三角形EDF
底边上的中线，同时也是等腰三角形EDF底边上的高。（等腰三角形底边上的中线与高重合）
所以，DG⊥EF。命题成立。