Question

奥数难题，高手请进！

1.若n是质数，且分数（n-4）/(n+17) 不约分或经过约分后是一个最简分数的平方，则n为____或____.
2.直线l交反比例函数y=√3/x 的图像于点A，交x轴于点B，点A、B与坐标原点o构成等边三角形，则l的函数解析式为_____或____.

请写出解答过程，有悬赏分！谢了。

Answer 1

n=11或31
由题意，令n-4=k*p^2,n+17=k*q^2,其中p,q互质,q>p!
显然这时(n-4)/(n+17)=(p/q)^2是一个最简分数的平方!
于是(n+17)-(n-4)=k*q^2-k*p^2=k(p+q)(p-q)=21=3*7
结合条件q>p
从而有k,p+q,p-q可能取值的如下四种组合：
1,7,3 =>q=5,p=2,k=1,n=1*2^2+4=8是合数,不符合!
1,21,1=>q=11,p=10,k=1,n=1*10^2+4=104是合数,不符合!
3,7,1=>q=4,p=3,k=3,n=3*3^2+4=31是质数，符合！
7,3,1=>q=2,p=1,k=7,n=7*1^2+4=11是质数,符合!
所以n=11或31;

当B点在x轴正向时，A点在第一象限
当B点在x轴负向时，A点在第三象限
直线的斜率=-√3
设直线的解析式为
y=-√3(x+b)代入y＝√3/x
x^2+bx+1=0
只有一个交点，则判别式=0
b^2-4=0
b= ±2
所以直线的解析式为
y=-√3(x±2)