Question

已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足:1.对任意的x,y∈(0,+∞),都有f(xy)=f(x)+f(y)

已知定义在（0，+∞）上的函数f(x)满足：1.对任意的x,y∈（0，+∞），都有f(xy)=f(x)+f(y); 2.当x>1时，f(x）＜0
求f（1）的值
判断函数的单调性

Answer 1

在f(xy)=f(x)＋f(y)中，以x=2、y=1代入，得：
f(2)=f(2)＋f(1)
得：f(1)=0

设：x1>x2>0，则：
f(x1)－f(x2)
=f[(x1/x2)×(x2)]－f(x2)
=f(x1/x2)＋f(x2)－f(x2)
=f(x1/x2)
因为x1>x2>0，则：x1/x2>0，则：f(x1/x2)<0，即：
f(x1)－f(x2)<0
f(x1)<f(x2)
所以函数在定义域内是递减的。