在平面直角坐标系中,抛物线y=-x^2+2x+3与x轴交于A、B两点
在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A.B两点,与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.(1)求直线AC的解析式及B.D两点的坐标;(2)点P是x轴上一...
在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A.B两点,与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.(1)求直线AC的解析式及B.D两点的坐标;(2)点P是x轴上一个动点,过P作直线l∥AC交抛物线于点Q,试探究:随着P点的运动,在抛物线上是否存在点Q,使以点A.P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出符合条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由.(3)请在直线AC上找一点M,使△BDM的周长最小,求出M点的坐标.
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1)解方程-x²+2x+3=0,
(x-3)(x+1)=0,
x1=-1,x2=3
所以A(-1,0),B(3,0)
当x=0时,y=3
所以C(0,3)
又y=-x²+2x+3=-(x-1)²+4
所以D(1,4)
设过A,C的直线为y=kx+b,则
-k+b=0,
b=3
解得k=3
所以直线AC为:y=3x+3
2)存在,P(1,0)
抛物线的对称轴为x=1,C关于x=1的对称点为Q(2.3)
又PQ∥AC
设直线PQ=3x+b,
将(2,3)代人,得,
b=-3
所以直线L:y=3x-3
所以P(1,0)
3)B关于AC的对称点B'(-21/5,12/5),连B'D,交AC于点M
设直线B'D为y=kx+b,则
(-21/5)k+b=12/5
k+b=4
解得k=4/13,b=48/13
所以y=(4/13)x+48/13
解方程组,
y=3x+3
y=(4/13)x+48/13
得x=9/35
y=132/35
所以M(9/35,132/35)
此时△BDM的周长最小
(x-3)(x+1)=0,
x1=-1,x2=3
所以A(-1,0),B(3,0)
当x=0时,y=3
所以C(0,3)
又y=-x²+2x+3=-(x-1)²+4
所以D(1,4)
设过A,C的直线为y=kx+b,则
-k+b=0,
b=3
解得k=3
所以直线AC为:y=3x+3
2)存在,P(1,0)
抛物线的对称轴为x=1,C关于x=1的对称点为Q(2.3)
又PQ∥AC
设直线PQ=3x+b,
将(2,3)代人,得,
b=-3
所以直线L:y=3x-3
所以P(1,0)
3)B关于AC的对称点B'(-21/5,12/5),连B'D,交AC于点M
设直线B'D为y=kx+b,则
(-21/5)k+b=12/5
k+b=4
解得k=4/13,b=48/13
所以y=(4/13)x+48/13
解方程组,
y=3x+3
y=(4/13)x+48/13
得x=9/35
y=132/35
所以M(9/35,132/35)
此时△BDM的周长最小
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第二问满足条件的点有三个:Q1(2,3),Q2(1+根号7,-3),Q3(1-根号7,-3)
参考资料: 《数学之友》
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(1)令y=0
-x^2+2x+3=0
x^2-2x-1=4
(x-1)^2=4
x=3或x=-1
所以A(-1,0)
B(3,0)
令x=0
所以y=3
所以C(0,3)
设解析式为y=kx+b
把A,B带入解析式
得 y=3x+3
把x=2带入
y=3
所以D(2,3)
-x^2+2x+3=0
x^2-2x-1=4
(x-1)^2=4
x=3或x=-1
所以A(-1,0)
B(3,0)
令x=0
所以y=3
所以C(0,3)
设解析式为y=kx+b
把A,B带入解析式
得 y=3x+3
把x=2带入
y=3
所以D(2,3)
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