Question

已知f(x)是定义在区间[-1,1]上的奇函数，且f(1)=1,若m、n属于[-1,1],m+n≠0，有[f(m)+f(n)]/m+n>0

已知f(x)是定义在区间[-1,1]上的奇函数，且f(1)=1,若m、n属于[-1,1],m+n≠0，有[f(m)+f(n)]/m+n>0,
(1)解不等式F(X+1/2)<F(1-X)
(2)若f(x)<=t^2-2at+1对所有x属于[-1,1],a属于[-1,1]恒成立，求实数t的取值范围。

请问这道题可以用拉格朗次中值定理吗，由[f(m)+f(n)]/m+n>0直接得到F（X）是增函数

Answer 1

在这里不能用拉格朗日中值定理，中值定理说的是在定义域[a,b]内存在一点ξ使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)，这里有f'(ξ)＞0，单存在一点其导数大于零，并不是说区间内每一点的导数都大于零。而增函数要求其一阶导数在定义域内都大于零。
而且拉格朗日中值定理要求函数连续且可导，不知道该题中的函数是否满足条件。
(1)f(-x)=-f(x) {x∈[-1,1]}
m+n≠0 则m+n>0或m+n<0
因为[f(m)+f(n)]/（m+n）>0
则当m+n>0，即m＞-n时，f(m)+f(n)>0，即f(m)>-f(n)=f（-n），说明函数式增函数。
或当m+n<0，即m＜-n时时，f(m)+f(n)<0，即f(m)＜-f(n)=f（-n），说明函数式增函数
所以当m,n∈[-1,1]，则f(x)是增函数
(2)若x+1/2,1/x-1∈[-1,1]

实际上就是解:x+1/2<1/x-1
x+3/2<1/x
x^2+3/2x-1<0
然后你能解了.
(3)把f(1)=1带进去
1<=t^2-2t+1
t^2-2t>=0
t(t-2)>=0
t<=0时,t<=2
t>=0,t>=2
所以t<=0或t>=2