Question

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点，求CB1与面AA1B1B所成的角的正切值。

Answer 1

根据勾股定理逆定理,△ABC是RT△,
<ACB=90°,
在下底面ABC上作CH⊥AB,垂足H,连结B1H,
∵三棱柱是直三棱柱,
∴BB1⊥平面ABC,
∵CH∈平面ABC,
∴BB1⊥CH,
∵AB∩BB1=B,
∴CH⊥平面ABB1A1,
∴<CB1H就是CB1和侧面ABB1A所成角,
∵RT△CHB∽RT△ACB,
∴BC^2=BH*AB,
∴BH=16/5,
CH*AB=AC*BC,(等积原理)
∴CH=12/5,
根据勾股定理,B1H=√(BB1^2+BH^2)=4√41/5,
∴tan<CBH=CH/BH=(12/5)/(4√41/5)=3√41/41.
CB1与面AA1B1B所成的角的正切值为3√41/41.