Question

在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是矩形,AD⊥PD,BC=1,PC=2√3,PD=CD=2,求直线PB与平面ABCD所成角的正切值

Answer 1

可以证明：平面PDC垂直平面ABCD，以及：∠PDC=120°。

过点P作PH垂直平面ABCD，可以证明点H在CD延长线上，且：DH=1、PH=√3

在三角形BCH中，得：HB=√10

因PH垂径平面ABCD，则：∠ABH就是直线PB与平面ABCD所成的角，在三角形ABH中，tan∠PBH=[PH]/[BH]=[√3]/[√10]

Answer 2

过点P作CD的垂线交CD于点E，连接BE。
∵PC=2√3,PD=CD=2,
∴由余弦定理得：PC²=PD²+CD²－2PD×CD×cos∠PDC
∴cos∠PDC=-1/2
∴∠PDC=120°
∴∠PDE=180°-120°=60°
∴PE=AD×sin∠PDE=√3,ED=AD×cos∠PDE=1
∴CE=CD+DE=3
∴BE=√(CD²+CE²)=√10
∴tan∠PBE=PE/BE=√3/√10=√30/10
∵AD⊥PD,AD⊥CD
∴AD⊥平面PCD
∴AD⊥PE
∵AD∥BC
∴BC⊥PE，
又∵PE⊥CD
∴PE⊥平面ABCD
∴直线PB与平面ABCD所成角即为∠PEB
∴直线PB与平面ABCD所成角的正切值为=√30/10