Question

已知定义在（0，正无穷大）上的函数f(x)对任意x,y属于（0，正无穷大），

特别是第三问已知定义在（0，正无穷大）上的函数f(x)对任意x,y属于（0，正无穷大），恒有f(xy)=f(x)+f(y),且当x＞1时，,f(x)＜0；证明：f(1)=0; 对任意的x属于(0,+00),有f(1/x)=-f(x); 当f(x)在（0，+00)上是增函数
上面题目貌似错了（第三问）·····

Answer 1

(1)由题得：当x=y=1时，有f(1×1)=f(1)+f(1)，f(1)=0
（2）f(1/x）=f(x×1/x²)=f(x)+f(1/x²) =f(x)+f(1/x)+f(1/x)
f(1/x)=-f(x)
（3）设x1，x2（数字为角码）属于（0，+00)，且x1小于x2；则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(1/x2)=f(x1/x2)
又x1小于x2，所以x1/x2＜1，f(x1/x2)＜0，既f(x1)-f(x2）＜0得证，话说是不是（3）题目打错了。。。

追问

嗯，好像是减函数，，怎么证明呢？？

追答

（3）设x1，x2（数字为角码）属于（0，+00)，且x1＞x2；则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(1/x2)=f(x1/x2)
又x1＞x2，所以x1/x2＜1，f(x1/x2)＜0，既f(x1)-f(x2）＜0得证，把假设中的小于换成大于。。。

Answer 2

这个其实就是一个对数函数。令X=1 代入。。。得证。 令Y=1/x，代入。。。得证。 最后一个问，证明是 增函数？ 我有点混乱了。。。。

追问

我想应该是题目错了吧？？是减函数吧