Question

设函数f(x)=ax2+bx+1(a≠0,b∈R)，若f(-1)=0,且对任意实数x(x∈R)不等式f(x)≥0恒成立。求实数a、b的值？

请问 为什么任意实数x均有f(x)≥0成立，所以a＞0 ，b2-4a≤0？

Answer 1

函数f(x)=ax2+bx+1(a≠0,b∈R)，若f(-1)=0,且对任意实数x(x∈R)不等式f(x)≥0恒成立。
抛物线图像位于x轴上方，
即 开口向上 a>0
抛物线顶点位于x轴上或x轴上方，即方程ax2+bx+1=0有两个相等根或者无实根
即判别式<=0

追问

抛物线图像位于x轴上方，
即 开口向上 a>0
这个我听不大清楚。能给我解释下吗？

追答

f(x)>=0 即函数值非负
对应函数图象上的点的纵坐标，即图象是的纵坐标位于x轴上方
所以必须开口向上才有可能，如果开口向下，y一定有负值
所以a>0
光有a>0不够，还要看顶点，顶点不能在x轴下方，所以再看判别式，

Answer 2

因为对任意实数x(x∈R)不等式f(x)≥0恒成立
所以抛物线开口朝上 即a＞0
b²-4a≤0是说明抛物线与x轴有一个或者无交点.