Question

△ABC为等边三角形，D为AC的中点∠EDF=120°DE交线段AB于E，DF交直线BC于F． 求证DE=DF

Answer 1

（1）连接BD．
∵∠EDF=120°，∠B=60°，
∴BEFD四点共圆；
又∵D为AC中点，
∴在等边三角形ABC中，BD为∠ABC的角平分线，
∴DE和DF在BEFD四点所构成的圆内，其圆周角相等，
∴DE=DF；

（2）连接BD．
由（1）知，四边形BEFD是圆内接四边形，
又∵在等边三角形ABC中，BD为∠ABC的角平分线，
∴BD也是∠EDF的角平分线，
∴∠DEB=180°-
12
×60°-
12
×120°=90°，
∴△BED是直角三角形；
同理，得△BFD是直角三角形；
在Rt△BED和Rt△BFD中，
BD=DB（公共边），DE=DF（由上题知），
∴Rt△BED≌Rt△BFD（HL），
∴BE=BF（对应边相等）；
又∵AB=BC，BE=3AE
∴CF=
14
BC；

（3）过点D作DH∥BC，交AB于点H．
∴∠CDH+∠BCA=180°，
∴∠CDH=120°；
又∵D为AC中点，
∴DH=
12
BC=DC；
∵∠HDE+∠EDC=120°，∠FDC+∠EDC=120°，
∴∠HDE=∠FDC；
又由ED=FD，
∴△DHE≌△DCF（SAS）；
∴HE=FC；
①∵BE=
13
AE，AB=BC，
∴BE=
14
BC，
∵AH=
12
BC，
∴HE=BC-AH-BE=
14
BC，
∴CF=
14
BC；
②∵BE=4AE，
∴AE=
15
BC，
如图（1），连接BD．
在Rt△BED和Rt△BFD中，

ED=FDBD=BD​

，
则Rt△BED≌Rt△BFD，
∴BE=BF，
∴FC=BC-BF=AB-BE=AE=
15

BC；
故答案分别是：
14

，
15
．

Answer 2

证明：
作DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N
∵∠B=60°
∴∠MDN=120°
∵∠EDF=120°
∴∠EDN=∠FDN
∵∠A=∠C=60°，DA=DC，∠AMD=∠CND=90°
∴△AMD≌△CND
∴DM=DN
∴△MDE≌△NDF
∴DE=DF

追问

还是这一题 （2）若BE=3AE，求证：CF=1/4BC

Answer 3

连接BD．
∵∠EDF=120°，∠B=60°，
∴BEFD四点共圆；
又∵D为AC中点，
∴在等边三角形ABC中，BD为∠ABC的角平分线，
∴DE和DF在BEFD四点所构成的圆内，其圆周角相等，
∴DE=DF；

Answer 4

这道题目只有在BD是∠EDF平分线的情况下，DE=DF，其他情况下都不成立

Answer 5

作辅助线呗，连接BD，证三角形ABD与三角形DBC全等