Question

高一数学函数的单调性（要规范解答）

设f（x）是定义在R上的函数，对任意x,y∈R，恒有f﹙x+y﹚=f﹙x﹚·f﹙y﹚,当x＞0时，有0＜f﹙x﹚＜1. ﹙1﹚求证∶f﹙0﹚=1,且当x＜0时，f﹙x﹚＞1; ﹙2﹚证明∶f﹙x﹚在R上单调递减。
已知函数g﹙x﹚=kx+b﹙k≠0﹚,当x∈[﹣1,1]时,g﹙x﹚的最大值比最小值大2，又f﹙x﹚=2x+3.是否存在常数k,b使得f[g﹙x﹚]=g[f﹙x﹚]对任意x恒成立，如果存在，求出k,b。如果不存在，说明为什么.

Answer 1

1）令x=0，y=0，所以有f(0)=f^2(0),f(0)[f(0)-1]=0,所以有
f(0)=0或f(0)=1.当f(0)=0,对于x>0,f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)=0,与当x>0时，有0<f(x)<1题意不符，所以f(0)=0舍去，于是有f（0）=1
（2）对于任意的x<0,有-x>0,所以0<f(-x)<1,又因为
f(x)*f(-x)=f(-x+x)=f(0)=1,所以f(x)>1
（3）对于任意的x1<x2属于R，令x2=x1+x0,其中x0>0,
f(x2)-f(x1)=f(x1+x0)-f(x1)=f(x1)f(x0)-f(x1)=f(x1)[f(x0)-1]
由于x0>0，所以0<f(x0)<1，有f(x0)-1<0,又f(x1)>0,所以f(x2)-f(x1)<0
所以函数f（x）是减函数

追问

第一问等于0时舍去，没有看懂，再详细一点，谢谢

Answer 2

设f（x）是定义在R上的函数，对任意x,y∈R，恒有f﹙x+y﹚=f﹙x﹚·f﹙y﹚,当x＞0时，有0＜f﹙x﹚＜1.
﹙1﹚求证∶f﹙0﹚=1,且当x＜0时，f﹙x﹚＞1;
﹙2﹚证明∶f﹙x﹚在R上单调递减。
(1)证明：∵f（x）是定义在R上的函数，对任意x,y∈R，恒有f﹙x+y﹚=f﹙x﹚·f﹙y﹚
令x=0
F(0+y)=f(0)·f(y)==>f(0)=f(y)/f(y)=1
∵当x＞0时，有0＜f﹙x﹚＜1.
令x=-y
f(x-x)=f(x)/f(-x)=1==>f(-x)=1/f(x)
∴当x＜0时，f﹙x﹚＞1
(2)证明：设x<y∈R
当x<0<y时，由(1)知，显然，f(x)>f(y)
当0<x<y时==>0<x<y<x+y
X+y>y>x
∵0<f(x),f(y)<1，f(x+y)=f(x)·f(y)<f(x)，f(x+y)=f(x)·f(y)<f(y)，
∴f﹙x﹚在(0,+∞)上单调递减
∵f(-x)=1/f(x)
设0<x<y==>f(x)>f(y)==>1/f(-x)>1/f(-y)
∴-y<-x有f(-y)>f(-x)
∴f﹙x﹚在(-∞,0)上单调递减
∴f﹙x﹚在R上单调递减。

Answer 3

·1
设 a>0
则 f(-a)=f(0-a)=f(0)*f(-a) 故 f(0)=1
由f(0)=1
f(a+(-a))=f(a)*f(-a)=1
f(-a)=1/f(a)
由题意 0<f(a)<1
1/f(a)>1,故f(-a)>1,既，当x<0时,f(x)>1
`2
设 a>0，a∈R
f(x+a)-f(x)=f(a)*f(x)-f(x)=(f(a)-1)*f(x)
由题意,a>0时，有0<f(a)<1
所以 (f(a)-1)<0
所以 f(x+a)-f(x)<0 → f(x+a)<f(x)
所以，f(x)在R上单调递减。