Question

已知椭圆x2/4+y2/3=1内有一点P（1，-1），Q（3,3），F为右焦点，M是椭圆上一个动点

（1）求MP-MF的取值范围
（2）求MP+MF的取值范围
（3）求MQ+MF的取值范围

Answer 1

c^2 = 4-3 = 1。c=1。
P（1，-1），Q（3，3）， F= （1，0）。
(1) 若 M、P、F 三点不共线，则在三角形 MPF 中，
MP + PF > MF, MF + PF > MP ，
所以 -PF <MP - MF < PF 。
若三点共线， 则 MP-MF = PF 或 -PF。
综上， -PF < = MP - MF <= PF
因为 PF = 1 ，所以 MP-MF的取值范围为 [-1， 1]。
（2） 设 做焦点为 F’， 则 F‘（-1,0）。 PF’ = √5。
由（1）， MP - MF‘ 的取值范围为 [-PF'， PF']， 即 [-√5， √5]。
由于 MP + MF = MP - MF’ + MF‘+ MF = 2a + （MP-MF’）， a = √4 = 2，
所以 MP + MF的取值范围为 [4-√5， 4+√5]。
(3) MQ + MF = MQ -MF' + MF'+MF = 4 + (MQ - MF')
MQ - MF' <= F'Q = √4² + 3² = 5，
当M、Q、F‘三点共线，且 M在两点之间时，
M为 (1, 3/2)。 此时 MQ= 5/4， MF‘= 5/4, MQ-MF’ = 0.
所以 MQ - MF'的取值范围为 [0,5].
MP + MF的取值范围为[4,9]。