Question

设f(x)是定义在R上的函数,满足f(0)=1,且对任意实数x,y都有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)成立 求f(x)

为什能设x=y

Answer 1

设f(x)是定义在R上的函数,满足f(0)=1,且对任意实数x,y都有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)成立
【对任意实数x,y】
所以x,y既可以取不同的值，也可以去相同的值，所以
能设x=y
刚好利用条件f(0)=1 从而求出f(x)

设x=y
f(x)=x(x+1)+1
=x^2+x+1

追问

对任意实数x,y都有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)究竟是什么意思

追答

x,y可以随便取数，代入满足 f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)
就是你想取那个数，就可以取那个数代入计算

Answer 2

因为f(0)=1且f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)
当x=y时 x-y=0那么 ，对任意x,y上式均成立
1=f(x)-x(2x-x+1)
f(x)=1+x(2x-x+1)
f(x)=1+x(x+1)
f(x)=x²+x+1