Question

求y=sin{πx/[2(1+x^2​)]}值域

求y=sin{πx/[2(1+x^2)]}值域，请高手帮忙，麻烦带解法。谢谢。

Answer 1

首先计算大括号里的值域：（π/2）*[x/(1+x^2)]
π/2是常数，现主要分析x/(1+x^2)的值域
1、当x是0时，x/(1+x^2)=0,；
2、当x>0时，将x/(1+x^2)取倒数：(1+x^2)/x=x+1/x≥2（根据基本不等式，下同），当且仅当x=1,等号成立,(1+x^2)/x≥2,则x/(1+x^2)属于(0,1/2]
3、当x<0时，将x/(1+x^2)取倒数：(1+x^2)/x=-(-x+-1/x)≤-2,当且仅当x=-1,等号成立,(1+x^2)/x≤-2,则x/(1+x^2)属于[-1/2,0)
综合以上三种情况，x/(1+x^2)的值域[-1/2,1/2]
所以（π/2）*[x/(1+x^2)]的值域[-1/4π,1/4π]
所以sin{πx/[2(1+x^2)]}值域[-√2/2,√2/2]