Question

求y=（2x²-x+2）/（x²+x+1）的值域

要有过程

Answer 1

x²+x+1= (x+1/2)²+3/4 ≥ 3/4,故定义域x∈R
又因为2x²-x+2= 2[x-(1/4)]²+15/8≥15/8
所以y＞0
y=（2x²-x+2）/（x²+x+1）
=（2x²+2x+2-3x）/（x²+x+1）
= 2- [3x/（x²+x+1）]
=2-[3/ (x+1+(1/x)]
x+1+(1/x)≥ 2√x（1/x）+1= 3
y的最大值是2
y的值域（0,2]

追问

为什么把x除掉，x取值是全体实数，取0时还能除x吗，这样做科学吗？而且y大于0不精确，你再想下^_^

追答

其实书写的时候只不过省了当x=0时的讨论，因为x=0，y=2
下面就是x≠0时的情况
y=（2x²-x+2）/（x²+x+1）
=（2x²+2x+2-3x）/（x²+x+1）
= 2- [3x/（x²+x+1）]
=2-[3/ (x+1+(1/x)]
当x＞0时x+1+(1/x）≥ 2√x（1/x）+1= 3, x=1时等号成立
即0＜3/ (x+1+(1/x)] ≤1
y的值域是[1,2)
当x＜0时，x+1+(1/x）≤- 2√x（1/x）= -1 x=-1时等号成立
即3/ (x+1+(1/x)] ≥ -3
值域是 y≤5
综合一下y的值域是[1,5]

Answer 2

（1,2)并上
（2,5)
先把上面的能化下来的化下来，剩了-3x，把x除下去，就是典型的对勾函数的复合型，然后画图就做出来了

追问

为什么把x除掉，x取值是全体实数，取0时还能除x吗，这样做科学吗

追答

对对对，x取0不能除，这样的话分开讨论。分x=0和不为0，不为0时同我之前的回答，为0时带入得2.。所以答案是【1,5】之前的1和5也是可以取到的。。。。抱歉。。。抱歉。。。

Answer 3

原式的定义域是R 所以值域是R