Question

如图，点O是等腰直角三角形ABC内一点

如图，点O是等腰直角三角形ABC内一点，∠ACB=90°，∠AOB=140°，∠AOC=α．将△ AOC绕直角顶点C按顺时针方向旋转90°得△BDC，连接OD．（1）试说明△COD是等腰直角三角形；（2）当α=85°时，试判断△BOD的形状，并说明理由．

（3）当α等于多少度时，△BOD是等腰三角形

Answer 1

（1） ∵ △BDC≌△AOC ∴ CO=CD
又 ∠OCD=90° △COD是等腰直角三角形；
（2）直角三角形
∠BOC=360°-140°-85°=135°
∠BOD=∠BOC-∠COD=135°-45°=90°

（3） ∠BOC=360°-140°- α
∠BOD=∠BOC-∠COD= 360°-140°- α-45°
∠BDO= α-45°
四边形BOCD中 ∠OBD= 360°-（360°-140°- α）-90°- α
BOD为等腰三角形，则可以有两种情形，
一种是BO=OD， ∠BDO= α-45° =∠OBD= 360-（360°-140°- α）-90°- α
α=95°
另一种是BO=BD ∠BOD= 360°-140°- α-45°=∠BDO= α-45°
α=110°

Answer 2

（1）这个还需要说明么？CO转90度到CD，所以CO=CD，角DCO=90，所以COD就是等腰直角三角形
（2）α=85°，角BOD=360-140-85-45=90，则BOD是直角三角形
（3）要使BOD为等腰三角形，则可以有三种情形，一种是BO=OD，另一种是OD=BD，还有一种是BO=BD
对于最后一种情况，BO=BD，因为BD=AO，即BO=AO，ABO为等腰三角形，则角BAO=(180-140)/2=20，角OAC=45-20=25度，α=180-25-45=110度
对于另外两种情况，就不一一演算了。

Answer 3

解：（1）∵△AOC绕直角顶点C按顺时针方向旋转90°得△BDC，
∴∠OCD=90°，CO=CD，
∴△COD是等腰直角三角形；

（2）△BOD为锐角三角形．
理由如下：
∵△COD是等腰直角三角形，
∴∠COD=∠CDO=45°，
而∠AOB=140°，α=95°，∠BDC=95°，
∴∠BOD=360°-140°-95°-45°=80°，
∠BDO=95°-45°=50°，
∴∠OBD=180°-80°-50°=50°．
∴△BOD为等腰三角形．

(3)：由(2)知当α=95°时，△BOD是等腰三角形