Question

已知f（1-x/1+x）=1-x平方/1+x平方，求f(x）

Answer 1

令（1－x）/（1＋x）＝t，则：1－x＝t＋tx，∴（1＋t）x＝1－t，∴空侍x＝（1－t）/（1＋t）。
∴f（t）
＝｛1－［（1－t）/（1＋t）］^2｝/｛1＋［（1－t）/（1＋t）］银前^2｝
＝［（1＋t）^2－（1－t）^2］/［（1＋t）^2＋（1－t）^2］
＝［（1＋t）＋（1－t）］［（1＋t）斗搏吵－（1－t）］/［2（1＋t^2）］
＝4t/［2（1＋t^2）］
＝2/（1＋t^2）。
∴f（x）＝2/（1＋x^2）。

追问

其实我一直想问一下，换元法到头来还是用x表示t，但为什么还是会有f（t）。x与t相不相同，题目中是否存在两个x

追答

x、t都是变量，不能将x、t作为定值看待。
例如：y＝x^2＋2x＋3，y＝t^2＋2t＋3。
当x＝a、t＝a时，x、t就相同；　当x＝a、t＝b时，x、t就不同。
但在y＝x^2＋2x＋3中，x是可以取b的，同理在y＝t^2＋2t＋3中，t也是可以取a的。
∴y＝t^2＋2t＋3就可以表示成y＝x^2＋2x＋3。

在本题中，f（t）＝2/（1＋t^2）也就可以用f（x）＝2/（1＋x^2）来表示了。

追问

我很奇怪你一开始另1－x）/（1＋x）＝t，为什么后面还要
x＝（1－t）/（1＋t）。

这个x与f（1-x/1+x）中的x相同吗

追答

（1－x）/（1＋x）＝t与x＝（1－t）/（1＋t）是等价的，可以通过恒等变换得到。
∴x＝（1－t）/（1＋t）中的x与f［（1－x）/（1＋x）］中的x是相同的。