Question

已知点F1,F2分别是双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b >0)的左，右焦点

已知点F1,F2分别是双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b >0)的左，右焦点，过F1且垂直于X轴的直线与双曲线交于A，B两点，若三角形ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是？

答案是（1,1+√2），为什么？

Answer 1

显然，∠F2AB=∠F2BA，所以这两个角必然是锐角，（如果是直角或者钝角，两个角相加就大于或者等于180°，在三角形内不成立的），因此只要保证∠AF2B<90°，△ABF2是锐角三角形，注意到x轴平分∠AF2B，若△ABF2是锐角三角形，则有∠AF2F1<45°，所以有AF1/F1F2=tan∠AF2F1<tan45°=1，即AF1/F1F2<1，易求得AF1=b²/a，F1F2=2c，把b²=c²-a²代入，得(c²-a²)/2ac<1，所以有c²-a²-2ac<0，两边除以a²，得e²-2e-1<0，解得1-√2<e<1+√2，注意到双曲线离心率e本身要满足e>1，所以e∈(1,1+√2)。