Question

如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠B+∠D=180°，求证：AE=1/2（AB+

如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠B+∠D=180°，求证：AE=1/2（AB+AD）

Answer 1

作CF⊥AD延长线于F，延长AB至G，使BG=AD
∵AC平分∠BAD
∴CE=CF
∵∠ABC+∠ADC=180°
∴∠EBC=∠FDC(都是∠ADC的补角)
∴Rt△EBC≌Rt△FDC(HL)
∴BC=DC
∵∠EBC=∠FDC
∴∠GBC=∠ADC
又BG=DA
∴△GBC≌△ADC(SAS)
∴GC=AC
又CE⊥AG
∴AE=GE(CE是AG的中垂线)
∴AE=AG/2=(AB+BG)/2=(AB+AD)/2
得证

Answer 2

AE=1/2（AB+?

追问

+AD

追答

证明:过C作CF垂直AD,交AD延长线于F,
∵AC平分∠BAD,CE⊥AB,CF⊥AD
∴CE=CF，AE=AF(角平分线的性质）
又∠B+∠D=180°，∠CDF+∠D=180°
∴∠B=∠CDF
在直角三角形BCE和DCF中,
△BCE≌△DCF,(AAS)
∴BE=DF,
∴2AE=2AF= AF+AE=AD+DF+AE=AD+BE+AE=AD+AB
∴AE=1/2（AB+AD）