Question

已知1/3≤a≤1,若函数f(x)=ax^2-2x+1,在区间[1,3]上的最大值为M(a),最小值为N(a),令g(a)=M(a)-N(a)

1.求g(a)的函数表达式
2.判断函数g(a)在区间[1/3,1]上的单调性,并求出g(a)的最小值
主要 是 2，最好 给理由~~~~~

Answer 1

f(x)'=2ax-2
令f(x)'=2ax-2=0,x=1/a
又1/3≤a≤1，则f(x)在x=1/a处取得最小值，即N(a)=f(1/a)=1-1/a
当1/3≤a≤1/2时，M(a)=f(1)=a-1,当1/2<a≤1时，M(a)=f(3)=9a-5
所以，当1/3≤a≤1/2时，g(a)=M(a)-N(a)=a+1/a-2, g(a)'=1-1/(a^2)<0,g(a)单调减小，其最小值为g(1/2)=1/2
当1/2≤a≤1时，g(a)=M(a)-N(a)=9a+1/a-6, g(a)'=9-1/(a^2)>0, g(a)单调增加，其最小值为g(1/2)=1/2
综上得，当1/3≤a≤1/2时，g(a)单调减小，当1/2≤a≤1时，g(a)单调增加，其最小值为g(1/2)=1/2

追问

为什么 g(a)=M(a)-N(a)=9a+1/a-6, 在【1/2,1】上单调增。？

追答

g(a)'=9-1/(a^2)，因为1/2≤a≤1，1/4≤a^2≤ 1, 1 ≤1/(a^2)≤4，5 ≤9-1/(a^2)≤8，所以g(a)'=9-1/(a^2)>0，故g(a)=M(a)-N(a)=9a+1/a-6, 在【1/2,1】上单调增