Question

在数列{an}中，a1=1,an=a(n-1)+1/n(n-1)（n≥2），写出数列前4项，猜想并证明{an}的通项公式，

详细过程，谢谢
不用归纳法可以吗

Answer 1

a1=1
a2=1+1/2=3/2
a3=3/2+1/6=5/3
a4=5/3+1/12=7/4
a5=7/4+1/20=9/5
......
猜想：an=(2n-1)/n
证明（不用归纳法）：
由题意，an=a(n-1)+1/n(n-1)
由于1/n(n-1)=1/(n-1) - 1/n
所以：an + 1/n = a(n-1) + 1/(n-1)
令数列bn=an + 1/n，则上式变换为 bn=b(n-1)
而b1=a1+1/1=2，所以数列bn的每一项都是2。
bn=an+1/n=2
an=2-1/n=(2n-1)/n
证明完毕

Answer 2

n＝2 a2＝a1＋1/1×2＝1＋1/2＝3/2＝2－1/2
n＝3 a3＝a2＋1/2×3＝3/2＋1/6＝5/3＝2－1/3
n＝4 a4＝a3＋1/3×4＝5/3＋1/12＝7/4＝2－1/4
猜想：an＝2－1/n

不用归纳法

∵an＝an﹣1＋1/n(n－1)
∴an －an﹣1＝1/(n－1) －1/n
an﹣1－an﹣2＝1/(n－2) －1/(n－1)
…

a2 －a1 ＝1－1/2
上述各式相加得：an－a1＝1－1/n ∴an=2－1/n