Question

一元三次方程怎么解?例如这道题。

x^3+5x^2-4x-20=0

Answer 1

一元三次方程和一元四次方程的解法在很早以前就被数学家们探索出来了，只是低年级的学生除了个别的对解高次方程有兴趣的外，其他的一般都很少接触到~~~下面就给出十六世纪数学家卡尔达诺给出的一般三次方程
aX^3+bX^2+cX+d=0 (其中a 不为零）的解法

（一）缺项三次方程更一般的形式：X^3+mX=n

卡尔达诺设想了一个大立方体，其边

长AC的长度用t来表示，AC边于B点截取线段

BC，其长度为u ，则线段AB的长度为t-u 。
。
这里的t和u都是辅助变量，我们必须确定它们

的值。大立方体可以分为6部分，各部分的体

积我们确定如下：

1.前下角小立方体的体积为u^3

2.后上角较大立方体的体积为（t-u）^3
3.两个垂直板块，一个沿AB向前，另

一个沿DE向右，长方体的边长分别为t-u,

u 和 t（大立方体的边长），因

而，每一个长方体的体积分别为tu(t-u）

4.前上角细长的长方体，其体积为u^2

(t-u)
5.在后小角，即较大立方体的下面，

有一个扁平的立方体，其体积为u(t-u)^2

显然，大立方体的体积t^3等于这6个小

立方体的体积之和，即

t^3=u^3+(t-u)^3+2tu(t-u)+u^2

(t-u)+u(t-u)^2

对方程式中的各项做一些整理，即得到

（t-u）^3+[2tu(t-u)+u^2(t-u)+u(t-u)

^2]=t^3-u^3

从方括号中提取公因数（t-u），得

（t-u)^3+(t-u)[2tu+u^2+u(t-u)]=t^3-u^3

或简化为 （t-u)^3+3tu(t-u)=t^3-

u^3 .......(*)

(*)方程式很容易使我们联想起最初的三次

方程式的形式X^3+mX=n。也

就是说，如果我们设t-u=x,则 (*)方程就变

为X^3+3tuX=t^3-u^3 ,然后，我们再设

3tu=m和t^3-u^3=n

由第一个等式可得u=m/3t,代人第二个等

式可得：t^3-m^3/(27t^3)=n

将方程两边分别乘以t^3，经整理后，就得

到方程 t^6-nt^3-m^3/27=0

这方程就变成我们熟悉的二次方程

最后解得
X=t-u
=[n/2+(n^2/4+m^3/27)]^

(1/3)-[-n/2+(n^2/4+m^3/27)]^(1/3)

（二）一般三次方程的解：

方法：通过适当的置换，可以把一般三

次方程转换成缺项三次方程。

替换量：X=Y-b/3a

代入一般三次方程得：

a(Y-b/3a)^3+b(Y-b/3a)^2+c(Y-b/3a)

+d=0
展开得：

[aY^3-bY^2+(b^2/3a)Y-b^3/27a^2]+

[bY^2-(2b^2/3a)Y+b^3/9a^2]+(cY-cb/3a)

+d=0

到这就削去了Y^2项，从而变成了缺项三

次方程

Answer 2

一般而言是用配凑因子法，比如这儿可以这么解：x^2(x+5) - 4(x+5)=0
——————（x^2 - 4)(x + 5）=0————结果：x = +2、-2、-5

Answer 3

x^3+5x^2-4x-20=0
解:x^2(x+5)=4(x+5)
（x+5）(x^2-4)=0
（x+5）(x+2)(x-2)=0
x+5=0，或x+2=0，或x-2=0
x1=-5，x2=-2，x3=2
初三加Q2530617601，我初三

Answer 4

（x-2)(x+2)(x+5)