Question

如图所示，在△ABC中，∠B=Rt∠，∠A=60°，以点B为圆心，AB为半径画圆，交AC于点D，交BC于点E.

求证：（1）弧AD=2弧ED
(2)D是AC的中点

Answer 1

（1）连接BD，由于∠A=60°，AB=BD，可以知道三角形ABD是等边三角形，而∠B=Rt∠，则角DBE=30度，由于弧AD对应的圆心角ABD=60度，弧DE对应的圆心角DBE=30度，刚好为两倍，因此弧AD=2弧ED；
（2），由于∠A=60°，∠B=Rt∠，可以知道角C=角DBE=30度，因此DB=DC，而上面已经证明三角形ABD是等边三角形，则BD=AD，也就是AB=BD=CD，也就是BD是AC的一半。根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半的逆定理（也就是，直角顶点向斜边上连线，如果这条线等于斜边的一半，则这条线是斜边的中线），可以知道BD是斜边AC上的中线，因此D是AC的中点

Answer 2

解;连接BD
因为AB=BD,∠A=60°
所以三角形ABD是等边三角形
所以∠ABD=60度
所以∠DBE=90-∠ABD=30度
所以∠ABD=2∠DBE
所以弧AD=2弧ED
2）因为∠C=180-∠B-∠A=30度
∠DBE=30度
所以∠C=∠DBE
所以BD=DC
又因为BD=AD
所以DC=AD,即D是AC中点

Answer 3

解：（1）因为以点B为圆心，AB为半径画圆。所以AB=BD=BE。所以△ABC为等腰三角形。连接BD。在△ABC中，A=60°，所以∠ADB=60度，也有∠ABD=60度。即△ABC为等边三角形∠B=Rt∠，所以∠DBE=30°，就有了:弧AD=2弧ED
(2)由（1）可知，∠C=30°。30度所对的边等于斜边的一半,所以AC=2AB.又因为△ABC为等边三角形，AB=AD。所以D是AC的中点。