Question

椭圆X^2/25+Y^2/9=1上不同三点A(x1,y1),B(4,9/5)C(x2,y2)与焦点F(4,0)的距离成等差数列

(1) 求证X1+x2=8
(2) 若线段AC的垂直平分线与x周的焦点的交点为T，求直线BT的斜率k

Answer 1

到右焦点F距离成等差数列等价于到右准线距离成等差数列，右准线方程为x = 25/4

也就是说 2(25/4-4) = (25/4-x1)+(25/4-x2) 所以 x1+x2 =8

设 AC中点M ，其坐标(x0,y0) ；所以 M(4,y0); AC斜率为 (x-4)*k1 = y-y0

其中垂线方程为 (x-4) = -k1*(y-y0), T: （4+k1y0,0)....1#

现在用点差法探求k1与y0 的关系

9x1^2 + 25y1^2 = 225
9x2^2 + 25y2^2 =225 相减 9(x1-x2)(x1+x2) = -25(y1+y2)(y1-y2)

也就是说 36 = 9x0 = -25y0*k1; y0*k1 =-36/25 带回1#
可知T：(64/25,0)

因此BT斜率k = (9/5-0)/(4-64/25) = (9/5)/(36/25)=5/4

昨天我回答过一个 - -

Answer 2

看图