Question

已知函数f﹙x﹚=﹙x²+a﹚/x,且f﹙1﹚=2. 1﹚判断并证明函数f﹙x﹚在其定义域上的奇偶性

2﹚证明函数f﹙x﹚在﹙1，﹢∞﹚上是增函数

Answer 1

1﹚当x≠0，f﹙-x﹚=[(-x)²+a﹚/(-x)=-﹙x²+a﹚/x=-f﹙x﹚
因为函数f﹙x﹚的定义域为﹙-∞，0﹚∪﹙0，﹢∞﹚，所以函数f﹙x﹚在其定义域上为奇函数。
2﹚证明：
∵f﹙1﹚=2
∴1+a=2
∴a=1
设1〈X1〈X2〈﹢∞，则有
x1-x2<0，x1x2>1，x1x2-1>0
∴f﹙x1﹚-f﹙x2﹚=﹙x1²+1﹚/x1-﹙x2²+1﹚/x2=（x1-x2）-（x1-x2）/（x1x2)=(x1x2-1)（x1-x2）/（x1x2)<0
即f﹙x1﹚<f﹙x2﹚
∴函数f﹙x﹚在﹙1，﹢∞﹚上是增函数