Question

如图,在三角形ABC中,角ACB=90°,AC=BC,点D为AB的中点

1，若E，F分别是AC，BC上的点，且AE=CF。求证：DE⊥DF
2，若E，F分别为CA，BC的延长线上的点，仍有AE=CF，其他条件不变，问DE⊥DF吗？请说明理由。

Answer 1

1. 连接CD。
∵ △ABC 为直角三角形， 且 AC= BC，
∴ CD ⊥ AB，且 CD = AD = BD。
∴ ∠ A + ∠ ECD = 90° 。
又∵ ∠A+ ∠B = 90°，
∴ ∠B = ∠ ECD
∵ AB =BC 且 AE =CF
∴ CE = BF
在△CDE 与△ BDF 中
∠B = ∠ ECD
CD = BD
CE = BF
∴ △CDE ≌ △ BDF。
∴ ∠CDE = ∠ BDF
∵ CD ⊥ AB
∴ ∠ BDF + ∠ CDF = 90°
∴ ∠ CDE + ∠ CDF = 90°
即 ∠ EDF= 90°，即 DE ⊥ DF。
2. 仍有 DE⊥DF
可证 △CDE ≌ △ BDF
∴ ∠CDE = ∠ BDF
即 ∠EDF + ∠CDF = ∠ BDC + ∠ CDF
∴ ∠EDF = ∠ BDC = 90° （因为 CD ⊥ BC）