Question

如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC=∠CPB=60°，求证： PA+PB=PC

Answer 1

证明：在PC上取点D，使AP＝PD
∵∠APC、∠ABC所对应圆弧都为劣弧AC，∠APC＝60
∴∠ABC＝∠APC＝60
∵∠CAB、∠CPB所对应圆弧都为劣弧BC，∠CPB＝60
∴∠CAB＝∠CPB＝60
∴等边△ABC
∴AB＝AC
∵AP＝PD
∴等边△PAD
∴AD＝AP，∠PAD＝60
∵∠PAB＝∠PAD-∠BAD＝60-∠BAD，∠DAC＝∠CAB-∠BAD＝60-∠BAD
∴∠PAB＝∠DAC
∴△PAB≌△DAC （SAS）
∴CD＝BP
∵PD+CD＝PC
∴AP+BP＝PC

Answer 2

证明
在PC上取一点D，使PD=PB，连接BD
∵PB=PD，∠BPC=60
∴△PDB为等边三角形，PB=BD，∠PBD=60
∵∠BPC=∠BAC=60=∠APC=∠ABC
∴三角形ABC为等边三角形
∴AB=BC，∠ABC=60
∵∠ABD是∠PBD和∠ABC的共角
∴△PBA≌△BCD
∴PA=CD
∴PC=PD﹢DC=PB﹢PA