Question

已知在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点． （1）如图，E、F分别是AB，AC上的

已知在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点．如图，E、F分别是AB，AC上的点，且DE⊥DF，那么△DEF是否为等腰直角三角形，请说明理由。

Answer 1

如图所示，过D点分别做AB、AC边上的垂线（红色标出），垂点分别为H、G

 

1、当E点与B点不重合，或者F点与C点不重合时

在由于三角形ABC是等腰直角三角形

所以DH=DG=AB/2

又因为DE⊥DF（已知），DH⊥DG（在四边形AHDG中可以计算得出）

所以∠HDF＋∠FDG=∠HDF＋∠HDE=90°

所以∠FDG=∠HDE

又因为∠DHE=∠DGF=90°

所以三角形HDE与三角形GDF全等

所以ED=DF

2、当然，当E点与B点重合，或者F点与C点重合时命题显然成立

有图有真相  望采纳

Answer 2

• 解：因为三角形ABC是直角三角形，易知角B=角C=45度。由后面的条件可得：三角形BCE相似于三角形BCA，故角BDE等于45度。角BED为直角（90度）。同理可知角CFD为直角，角AFE,AEF,FDC,FCD为45度，所以可得在三角形DEF中有角EDF为直角，角DEF=角DFE=45度，即为所证。（因为不知怎么打出那些符号所以就只有文字了，但是就是这个道理的），呵呵。

Answer 3

（1）证明：连接AD（5分）
∵AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，BD=AD．（1分）
∴∠B=∠DAC=45°（5分）
又BE=AF，
∴△BDE≌△ADF（SAS）．（2分）
∴ED=FD，∠BDE=∠ADF．（5分）
∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°．
∴△DEF为等腰直角三角形．（3分）

（2）解：△DEF为等腰直角三角形．
证明：若E，F分别是AB，CA延长线上的点，如图所示：
连接AD，（4分）
∵AB=AC，
∴△ABC等腰三角形，
∵∠BAC=90°，D为BC的中点，
∴AD=BD，AD⊥BC（三线合一），
∴∠DAC=∠ABD=45°．
∴∠DAF=∠DBE=135°．（5分）
又AF=BE，
∴△DAF≌△DBE（SAS）．（6分）
∴FD=ED，∠FDA=∠EDB．（5分）
∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°．
∴△DEF仍为等腰直角三角形．（7分）