已知在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC的中点. (1)如图,E、F分别是AB,AC上的
已知在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC的中点.如图,E、F分别是AB,AC上的点,且DE⊥DF,那么△DEF是否为等腰直角三角形,请说明理由。...
已知在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC的中点.如图,E、F分别是AB,AC上的点,且DE⊥DF,那么△DEF是否为等腰直角三角形,请说明理由。
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解:因为三角形ABC是直角三角形,易知角B=角C=45度。由后面的条件可得:三角形BCE相似于三角形BCA,故角BDE等于45度。角BED为直角(90度)。同理可知角CFD为直角,角AFE,AEF,FDC,FCD为45度,所以可得在三角形DEF中有角EDF为直角,角DEF=角DFE=45度,即为所证。(因为不知怎么打出那些符号所以就只有文字了,但是就是这个道理的),呵呵。
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(1)证明:连接AD(5分)
∵AB=AC,∠BAC=90°,D为BC的中点,
∴AD⊥BC,BD=AD.(1分)
∴∠B=∠DAC=45°(5分)
又BE=AF,
∴△BDE≌△ADF(SAS).(2分)
∴ED=FD,∠BDE=∠ADF.(5分)
∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°.
∴△DEF为等腰直角三角形.(3分)
(2)解:△DEF为等腰直角三角形.
证明:若E,F分别是AB,CA延长线上的点,如图所示:
连接AD,(4分)
∵AB=AC,
∴△ABC等腰三角形,
∵∠BAC=90°,D为BC的中点,
∴AD=BD,AD⊥BC(三线合一),
∴∠DAC=∠ABD=45°.
∴∠DAF=∠DBE=135°.(5分)
又AF=BE,
∴△DAF≌△DBE(SAS).(6分)
∴FD=ED,∠FDA=∠EDB.(5分)
∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°.
∴△DEF仍为等腰直角三角形.(7分)
∵AB=AC,∠BAC=90°,D为BC的中点,
∴AD⊥BC,BD=AD.(1分)
∴∠B=∠DAC=45°(5分)
又BE=AF,
∴△BDE≌△ADF(SAS).(2分)
∴ED=FD,∠BDE=∠ADF.(5分)
∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°.
∴△DEF为等腰直角三角形.(3分)
(2)解:△DEF为等腰直角三角形.
证明:若E,F分别是AB,CA延长线上的点,如图所示:
连接AD,(4分)
∵AB=AC,
∴△ABC等腰三角形,
∵∠BAC=90°,D为BC的中点,
∴AD=BD,AD⊥BC(三线合一),
∴∠DAC=∠ABD=45°.
∴∠DAF=∠DBE=135°.(5分)
又AF=BE,
∴△DAF≌△DBE(SAS).(6分)
∴FD=ED,∠FDA=∠EDB.(5分)
∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°.
∴△DEF仍为等腰直角三角形.(7分)
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