Question

设定义在R上的函数f﹙x﹚满足对于任意x，y属于R都有f﹙x+y﹚=f﹙x﹚﹢f﹙y﹚成立，

且f﹙1﹚=-2,当x＞0时,f﹙x﹚﹤0。
1﹚判断f﹙x﹚的奇偶性，并加以证明
2﹚试问：当-3≤x≤3时，f﹙x﹚是否有最值？有，求最值；没有，说明理由

Answer 1

　　1.函数f(x)为奇函数。
　　证明：令x=y=0，得f(0+0)=f(0)+f(0)，∴f(0)=0
　　再令y=-x，得f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0,即f(-x)=-f(x)，∴函数f(x)为奇函数。
　　2.先判断f(x)在R上的单调性：
　　设0<x1<x2时，则x2-x1>0
　　∵ x，y∈R时都有f(x+y)=f(x)+f(y) ，∴ f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)
　　又∵ 当x>0时，f(x)<0 ，∴ f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)<0
　　又∵ f(x)为奇函数,即：f(-x)=-f(x) ，∴f(x2)-f(x1)<0，即f(x1)>f(x2)
　　∴f(x)在(0,+∞)上为减函数，
　　又∵函数f(x)为奇函数，∴f(x)在R上为减函数.
　　故f(x)在-3≤x≤3时有最值，且最大值为f(-3)，最小值为f(3)。
　　令x=y=1,则f(2)=f(1)+f(1)=-4,
　　∴最小值f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=-4-2=-6,
　　最大值f(-3)=-f(3)=6。