Question

求函数y=x(1-x^2)(0<x<1)的最大值

补充：求导还没有学到

Answer 1

对函数求导：y'=-3x²+1，令y’=0，于是有-3x²+1=0，解得x=±(√3)/3，而只有x=(√3)/3才满足题意(0<x<1)，故当x=(√3)/3时，取的极值，由题知，此一定是最大值。所以max(y)=y((√3)/3)=2(√3)/9

Answer 2

我晕，这个很难么？ 图像法或者单调性法， 举例如下：
使用函数单调性证明的方法
x1,x2∈(0,√3/3] x1>x2
f(x1)-f(x2)
=x1-x1^3-(x2-x2^3)
=(x1-x2)-(x1^3-x2^3)
=(x1-x2)-(x1-x2)(x1^2+x2^2+x1x2)
=(x1-x2)(1-x1^2-x2^2-x1x2)
x1>x2 x1-x2>0
x1^2+x2^2+x1x2<=(√3/3)^2+(√3/3)^2+(√3/3)^2=1
1-x1^2-x2^2-x1x2>=0
所以f(x1)-f(x2)>=0
f(x)在(0,√3/3]上单调递增
同理可证f(x)在[√3/3,1)上单调递减
所以取最大值时x=√3/3 y=√3/3*2/3=2√3/9

追问

请问√3/3是怎么想到的

追答

哦，抱歉，我求导了~~~

Answer 3

对函数求导y"=1-3x^2=0,x=3^(1/2)/3带入原函数的最大值为2*3（1/2）/9