Question

三角形ABC的三个内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c,已知c=3,C=60°

若A=75°，求b的值
若a=2b，求b的值

Answer 1

尽量用初中方法解，

1、作AD⊥BC，则〈CAD=90°-60°=30°，

则CD=AC/2= b/2,(RT△中30度所对边是斜边的一半）

AD=√3b/2,

《BAD=〈BAC-〈DAC=75°-30°=45°，

∴△ABD是等腰RT△，

AD=√2AB/2=3√2/2，

√3b/2=3√2/2，

∴b=√6，

2、取BC中点M，连结AM，

∵BC=a=2b,

MC=BC/2=b,

∴△ACM是等腰三角形，

∵〈C=60°，

∴△ACM是正△，

∴AM=b=BC/2,

以M为圆心，MA为半径的圆经过A、B、C三点，

∴〈BAC=90°，（半圆上圆zhou角为直角）

AB=2b,

根据勾股定理，

（2b)^2-b^2=c^2=9,

3b^2=9,

∴b=√3。 

Answer 2

∠B=180-60-75=45°
由正弦定理得
bsinC=csinB
b×sin60°=3×sin45°
b×√3/2=3×√2/2
b=√6

由余弦定理得
cosC=(a²＋b²－c²)÷2ab
=(5b²－9)÷4b²
=1/2 (因为cos60°=1/2)
所以10b²-18=4b²
b²=3 且b＞0 (b是边长)
故 b=√3