Question

在数列an中，a1=1,an+1=2an+2^n,1.设bn=an/2^n-1.证明：数列bn是等差数列；可以不用同除2^(n+1)吗

我是说用构造法，弄成a(n+1)+k=2（an+k)吗，不过我用这方法求出an=3*2^(n-1)-2^n，求与百度不一样的方法

Answer 1

在已知等式两边同除以 2^(n+1) ，得
a(n+1)/2^(n+1)=an/2^n+1/2 ，
所以 ｛an/2^n｝是首项为 a1/2=1/2 ，公差为 1/2 的等差数列，
因此 ｛an/2^n-1｝是首项为 -1/2 ，公差为 1/2 的等差数列。

你那样构造，弄成 a(n+1)+2^n=2(an+2^n) 是不行的，因为两边的结构并不对等。
就是说，右边 an+2^n 应该跟左边的 a(n+1)+2^(n+1) 对等。可是这样等式就不相等了。

追问

那为什么同是除以 2^(n+1) ，而不是其他的。还有a(n+1)/2^(n+1)=an/2^n+1/2 ，这步怎么变的，希望求细解。

追答

一定得让左、右两边的结构对等。a(n+1)/2^(n+1) 与 an/2^n 就是对等的结构。

这道题由于是证明题，出现 an/2^n 的东西，所以要两边同除以 2^(n+1) 。

左边 a(n+1) 除以 2^(n+1) 就是 a(n+1)/2^(n+1) ，
右边 2an 除以 2^(n+1) 等于 2an/2^(n+1) ，分子分母约去 2，等于 an/2^n ，
那个 2^n 除以 2^(n+1) ，由于 2^(n+1)=2*2^n （同底的幂相乘，底不变，指数相加），因此约分后就等于 1/2 了。

宝贝儿，你要把我累坏了。。。。。。

Answer 2

用定义不就可以了？

追问

真正的高手！