Question

如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形。

1四边形ABCD是菱形吗？为什么？
2若∠AED=2∠EAD，AC=6，求DE的长

Answer 1

1)四边形ABCD是菱形,

理由，

因为在平行四边形ABCD中，AO=CO,

所以EO是边AC的中线，

因为△ACE是等边三角形

所以EO⊥AC

所以BE是AC的垂直平分线

所以AD=CD(垂直平分线上的点到线段两端距离相等)

所以四边形ABCD是菱形

 

2)因为等边△AEC中，∠AEC=60，

所以∠AED=30°

因为∠AED=2∠EAD

所以∠EAD=15°

又等边三角形AEC中，∠EAC=60

所以∠CAD=60-15=45°

因为EO⊥AC

所以△AOD是等腰直角三角形

所以DO=AO=AC/2=3

因为直角三角形AEO中，AE=6，=AO=3，EO=3√3

所以ED=EO-OD=3√3-3