Question

初三数学题，求各位大侠帮助~

如图，抛物线y= 12x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，四边形OBHC为矩形，CH的延长线交抛物线于点D（5，2），连接BC、AD．（1）求C点的坐标及抛物线的解析式；（2）将△BCH绕点B按顺时针旋转90°后再沿x轴对折得到△BEF（点C与点E对应），判断点E是否落在抛物线上，并说明理由；（3）设过点E的直线交AB边于点P，交CD边于点Q．问是否存在点P，使直线PQ分梯形ABCD的面积为1：3两部

分？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

1、证:∵四边形OBHC为矩形∴CH∥OB∴CD∥OB∴C﹙0,2﹚
将点C﹙0,2﹚D(5,2)代入抛物线方程可解得
m＝﹣5／2，n＝2，
∴y=1/2x²﹣5／2x+2。
2、由题目可知△CHB≌△FEB。
∴CH＝EF BH＝BF＝2
∵y=1/2x²﹣5／2x+2∴当y=0时，可解的x₁＝4 ,x₂＝1，
∴B﹙1,0﹚A﹙4,0﹚∴OB=CH=1 OF=3∴E﹙3,-1﹚
将点E﹙3,-1﹚代入抛物线可知点E在抛物线上。
3、设直线PQ为y=k﹙x﹣3﹚-1分别另y=0 y=2可解得P﹙1／k﹢3,0﹚Q﹙3／k﹢3,2﹚
∴BP=1／k﹢2,CQ＝3／k﹢3
所以四边形CBPQ的面积=﹙3／k﹢3﹢1／k﹢2﹚×2×1／2＝5﹢4／k
梯形ABCD的面积＝﹙AB＋CD﹚×½BH＝8。
若直线PQ分梯形ABCD的面积为1：3两部分则
①四边形CBPQ的面积＝¼梯形ABCD的面积＝2＝5﹢4／k
解得k=-4／3∴y=-4／3x﹢3
∴P﹙9／4,0﹚
②四边形CBPQ的面积＝¾梯形ABCD的面积＝6＝5﹢4／k
解得k=4
∴y=4x﹣13
∴P﹙13／4,0﹚