Question

已知△ABC和△BDE都是等边三角形。求证：①AE=CD；②BF=BG；③HB平分∠AHD；④FG//AD。

Answer 1

1、∵△ABC和△BDE均是正△，
∴BE=BD，
∴AB=BC，
∴〈ABC=〈DBE=60°，
∴〈CBE=180°-60°-60°=60°，
∴〈ABE=〈CBD=120°，
∴△ABE≌△CBD，（SAS），
∴AE=CD。
2、由前所述，∴△ABE≌△CBD，
∴〈BDC=〈BEA，
∴B、D、E、H四点共圆，（两同侧同底三角形若顶角相等，则四点共圆），
∴〈EHD=〈EBD=60°，（同弧圆周角相等），
∴〈BHD=〈BED=60°，
∴〈EHD=〈FBG，
∴F、B、G、H也四点共圆，（四边形外角等于内对角，则四点共圆），
∴〈BFG=〈BHG=60°，
∴△FBG是正△，（有二内角为60°）
∴BF=BG。
3、由前所述，
∵F、B、G、H四点共圆，
∴〈BHF=〈FGB，
∵△FGB是正△，
∴〈FGB=60°，
∴〈BHF=60°=〈BHG，
∴HB平分∠AHD。
4、∵△FGB是正△，
∴〈GFB=60°=〈ABC，
∴FG//AD，（若二直线内错角相等则平行）。

Answer 2

证明：（1）
∵△ABC和△BDE都是等边三角形
∴BE=BD，AB=BC
∴∠ABC=∠EBD
∴∠ABC+∠CBE=∠EBD+∠CBE
∴∠ABE=∠CBD
∴△ABE≌△CBD
∴AE=CD
(2)
同理证△BFE≌△BGD