Question

数学高手进，琴声不等式

琴声不等式这是百度百科上的证明
现在对于一个普通的n,如果n不是2的幂，我们可以找到一个k,使得2^k>n
　　然后我们设
　　x(n+1)=x(n+2)=...=x(2^k)=(x1+x2+...+xn)/n
　　代入2^k阶的琴生不等式结论，整理后就可以得到结论。
　　现在看看如何使用琴生不等式证明平方平均不等式
　　(x1^2+x2^2+...+xn^2)/n>=[(x1+x2+...+xn)/n]^2 百度百科上这么证的

但是不是要x(n+1)=x(n+2)=...=x(2^k)=(x1+x2+...+xn)/n ，这不是限制吗，为什么函数还能随便取值呢，不是要相等才行吗

Answer 1

函数不是随便取的 你要证明(x1^2+x2^2+...+xn^2)/n>=[(x1+x2+...+xn)/n]^2 你看都是平方项的相加
自然，我们可以查看函数f(x)=x^2 用它在某一定义域上的函数段来证明不等式
你如如果证 (x1^3+x2^3+...+xn^3)/n>=[(x1+x2+...+xn)/n]^3 就应该查看函数f(x)=x^3
你的第一个问题 那是两个段落 他不是说：“现在看看如何使用琴生不等式证明平方平均不等式”
这已经与上面的那个一连串相等的式子没有关系了。。。
对了 还有 百度百科给的数学分析里的那两个结论比较有用
如果f(x)二阶可导，而且f''(x)≥0,那么f(x)是下凸函数(凸函数）

如果f(x)二阶可导，而且f''(x)≤0,那么f(x)是上凸函数(凹函数)
这个就可以当做是一个额外收获吧 哈哈

追问

x(n+1)=x(n+2)=...=x(2^k)=(x1+x2+...+xn)/n
这个条件没有用吗？不是限制吗？

追答

你看这个条件是上面推理琴生不等式用到的吧
下面他说是用琴生不等式证明平方平均不等式 就是说琴生不等式是作为一个类似已知条件出现的 可以直接使用 不需要再去加以什么限制条件了 嗯