在数列{an}中,若a1=4,a1*a2*a3*...*an=(n+1)^2（n≥2），求通项公式an
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设 bn=a1*a2*a3...*an=(n+1)^2， n=1,2,...
则 b(n-1)=a1*a2*...*a(n-1)=n^2
bn=b(n-1)*an
故 an=bn/b(n-1)=(n+1)^2/n^2=(1+1/n)^2
则 b(n-1)=a1*a2*...*a(n-1)=n^2
bn=b(n-1)*an
故 an=bn/b(n-1)=(n+1)^2/n^2=(1+1/n)^2
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an=（n+1)²/n²
证明：当n=时成立，
假设当≤n时成立，即an=（n+1)²/n²
当n+1时有
a1*a2*a3*...*an*an+1=（n+2)²
所以an+1=（n+2)²/（a1*a2*a3*...*an）=（n+2)²/（2²/1*3²/2²*4²/3²*…（n+1)²/n²）=（n+2)²/（n+1）²
所以当n+1时成立
所以an=（n+1)²/n²成立
证明：当n=时成立，
假设当≤n时成立，即an=（n+1)²/n²
当n+1时有
a1*a2*a3*...*an*an+1=（n+2)²
所以an+1=（n+2)²/（a1*a2*a3*...*an）=（n+2)²/（2²/1*3²/2²*4²/3²*…（n+1)²/n²）=（n+2)²/（n+1）²
所以当n+1时成立
所以an=（n+1)²/n²成立
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n>1时，a1*a2*a3*...*an=(n+1)^2（n≥2），
a1*a2*a3*...*a(n-1)=n^2（n≥2），
两式相除，得an=(1+1/n)^2
令n=1则a1=(1+1)^2=4满足an通项
则an=(1+1/n)^2
a1*a2*a3*...*a(n-1)=n^2（n≥2），
两式相除，得an=(1+1/n)^2
令n=1则a1=(1+1)^2=4满足an通项
则an=(1+1/n)^2
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