Question

如图，已知：△ABC中，AD是中线，AE⊥BC于E。（1）若AB=12,BC=10,AC=8,求，DE的长

如图，已知：△ABC中，AD是中线，AE⊥BC于E。（1）若AB=12,BC=10,AC=8,求，DE的长度。（2）求证AB²-AC²=2BC×DE

Answer 1

俊狼猎英团队为您解答

⑴设BE=X，∵AE⊥BC，
∴AB^2-BE^2=AE^2=AC^2-CE^2，
∴144-X^2=64-(10-X)^2，X=9，
∵BD=1/2BC=5，
∴DE=4。
⑵在RTΔABE中：AB^2=AE^2+BE^2，
在RTΔACE中：AC^2=AE^2+CE^2，
∴AB^2-AC^2=BE^2-CE^2
=(BE+CE)(BE-CE)
=BC*［(BD+DE)-(CD-DE)］
=BC*2DE (∵BD=CD)
=2BC*DE。

Answer 2

解：（1）法一∵AE⊥BC
∴在直角⊿ABE和直角⊿ACE中，
AB^2==BE^2+AE^2
AC^2==CE^2+AE^2
∴AB^2-AC^2==（BE^2+AE^2）-（CE^2+AE^2）
==BE^2-CE^2==（BE+CE）*（BE-CE）
==BC*（BE-CE）
又∵D为BC中点，
∴BD==CD
而BE==BD+DE，CE==CD-DE
∴BE-CE==（BD+DE）-（CD-DE）==2DE
∴AB^2-AC^2=BC*（BE-CE）=BC*2DE=2BC*DE
又∵AB=12,BC=10,AC=8
所以12²-8²=2×10×DE
DE=4
法二：：∵AD是中线，BC=10， ∴BD＝DC=5． 设DE的长为x，则BE=5+x，EC=5-x． 又∵AE⊥BC于E， ∴△AEB和△AEC是直角三角形 勾股定理， 得AB^2-BE^2=AC^2-CE^2． ∴122－(5＋x)^2=8^2-(5－x)^2． 解得x=4， 即DE=4
（2）
第一个问代第二个问的公式
在直角△ABE中，AB^2=AE^2+BE^2
在直角△ACE中，AC^2=AE^2+CE^2
两式相减可得 AB^2-AC^2=BE^2-CE^2=(BE+CE)(BE-CE)=BC(BD+DE-CE)=BC(DC+DE-CE)
=BC*2DE=2BC*DE

Answer 3

DE=4