Question

若函数f(x)=根号√x^2+1-ax 其中a>0 求a范围使f(x)在{0,正无穷）上是单调函数 不用导数怎么做？

若函数f(x)=根号√（x^2+1）-ax 其中a>0 求a范围使f(x)在{0,正无穷）上是单调函数

Answer 1

思路是先找到a≥1时为减函数 满足题意 再证明0<a<1时函数不单调

任取x1,x2∈[0,1),且x1>x2
f(x1)-f(x2)=(x1-x2)[(x1+x2)/(√(x1^2+1)+√(x2^2+1))]
∵x1≤|x1|=√(x1^2)<√(x1^2+1) ，x2<√(x2^2+1) ，x1>x2 ∴(x1+x2)/[√(x1^2+1)+√(x2^2+1)]<1
当a≥1时 f(x1)-f(x2)<0 此时f(x)在[0,∞)上为减函数
若0<a<1,当x1>x2>a/√(1-a^2)时 (x1+x2)/[√(x1^2+1)+√(x2^2+1)]>a
∴f(x1)-f(x2)>0，即f(x1>f(x2) ∴f(x)在([a/√(1-a^2)],+∞)上单调递增
当0<x2<x1<a/√(1-a^2)时 (x1+x2)/[√(x1^2+1)+√(x2^2+1)]>a
∴f(x1)-f(x2)<0，即f(x1<f(x2) ∴f(x)在(0,[a/√(1-a^2)])上单调递减
∴0<a<1时f(x)在[0,+∞)上不是单调函数
综上，a的取值范围是[1,+∞)

纯手打累死了，答案过程绝对正确。不用导数只能这么做了

Answer 2

设 x>0, y>0,x>y,x,y∈R
f(x)-f(y)=根号(x²+1-ax)-根号(y²+1-ay)=((x²+1-ax)-(y²+1-ay))/(根号(x²+1-ax)+根号(y²+1-ay))
分母肯定为正数 所以不用考虑
现在考虑分子 分子=(x²-y²)-a(y-x)
如果是单调递增 分子>0 所以 (x²-y²)-a(y-x)>0 a>(x²-y²)/(y-x) a>-x-y 已知x>0,y>0 ,a>0
所以 单调递增的 a>0
现在考虑单调递减 分子<0 所以 (x²-y²)-a(y-x)<0 a<-x-y 已知x>0,y>0 ,a>0 所以递减的情况不存在

因为(x²+1-ax)是在根号下 所以又要满足 (x²+1-ax)≥0 因为 (x²+1-2x)≥0
所以 (x²+1-ax)≥ (x²+1-2x) 所以 -ax≥-2x 所以 ax≤2x 由题意x>0
固有 a≤2
所以 a的范围是 0<a≤2

追问

不好意思 我没表达清楚
若函数f(x)=根号√（x^2+1）-ax 其中a>0 求a范围使f(x)在{0,正无穷）上是单调函数

Answer 3

可以用极限解释吗