Question

如图,平面PAD⊥平面ABCD,ABCD为正方形,△PAD为直角三角形,且PA=AD=2 E F G为PA PD CD中点

I)求证：PB‖平面EFG；(ii)在线段CD上是否存在一点Q，使得点A到平面EFQ的距离为0.8，若存在，求出CQ的值；若不存在，说明理由

Answer 1

1、
证：取AB中点H，连接GH，EH；GH与BD交于O点，连接FO；
∵G为CD中点
∴GH∥AD
∵E,F分别为PA,PD中点
∴EF∥AD
∴GH∥EF
∴H点与E,F,G三点共面
则：平面EFG即平面EFGH
在正方形ABCD由平面几何知识易得：O为BD中点
在△PAD中，F,O分别为PD,PA中点
∴PB∥FO
FO包含于平面EFG，PB不包含于平面EFG
∴PB∥平面EFG

2、
解：∵平面PAD⊥平面ABCD，AD为交线，CD⊥AD，CD包含于平面ABCD
∴CD⊥平面PAD
点Q在CD上，则QD⊥平面PAD
△PAD为直角三角形,且PA=AD=2
那么直角点只有可能是A，即PA⊥AD
∵平面PAD⊥平面ABCD，AD为交线，而PA是包含于平面PAD的
∴PA⊥平面ABCD
假设存在Q点满足题意，过Q作QM⊥AB于点M，连接EM，则显然QM∥EF
∵PA⊥平面ABCD，QM包含于平面ABCD
∴PA⊥QM
又∵QM⊥AB，AB∩PA=A
∴QM⊥平面PAB
而直线EM是包含于平面PAB的
∴QM⊥EM
又QM∥EF
∴EF⊥EM
∴点Q到EF的距离即点M到EF的距离，即EM；
然后等体积法：V(A-EFQ)=V(Q-AEF)
∵QD⊥平面PAD，平面AEF即平面PAD
∴点Q到平面AEF的距离为QD
而点A到平面EFQ的距离为0.8
∴0.8S△EFQ*=QD*S△AEF ①
∵点Q到EF的距离即点M到EF的距离，即EM；EF=AD/2=1
∴S△EFQ=EF*EM/2=EM/2
△AEF为等腰直角三角形，AE=EF=1
∴S△AEF=1/2
∴①式化为：0.4EM=0.5QD
而QD=MA，则：0.4EM=0.5MA，即：EM=5MA/4
∴在Rt△AEM中，AE=1，EM=5MA/4
由勾股定理：EM²=MA²+AE²
解得：MA=4/3
即QD=4/3
则CQ=2/3
∴存在满足题意的点Q，CQ=2/3

注：略有难度的一道立体几何~~

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！

Answer 2

(1)取AB的中点H，连接EH、GH
因E、F为PA、PD中点，则EF//AD
又G、H为CD、AB中点，则GH//AD
所以EF//GH，即E、F、G、H共面
令平面为平面EFGH，显然平面EFGH与平面EFG为同一平面
因平面EFGH∩平面EFG=EH
而在三角形PAB中，E、H为中点，由中位线性质有EH//PB
所以PB//平面EFGH，即PB//平面EFG

(2)Q点存在。设CQ=x。过Q作QI//AD，交AB于I，连接EI。显然EI为平面EFQI（即平面EFQ）与平面PAB的交线
因⊿PAD为RT，即PA⊥AD；又因ABCD为正方形，即有AB⊥AD；又PA∩AB=平面PAB，则AD⊥平面PAB
易知AD//EF//QI，则有EF⊥平面PAB，QI⊥平面PAB，进而有平面EFQI（或平面EFQ）⊥平面PAB，且交线为EI
过A作AJ⊥EI，交EI于J，则AJ即为点A到平面EFQ的距离，令AJ=0.8
在平面PAB上，在RT⊿AEI中，AI=2-x（注意到BI=CQ），AE=1（E为中点），由勾股定理有EI=√(x^2-4x+5)；再由面积相等原理有(2-x)*1=0.8*√(x^2-4x+5)，由此解出x=2/3（注意到0<x<2）。