Question

求助一道数学题 已知数列 {an}中,a1=2, an+1(n+1是a的下标)=（√2 -1)(an+2),n∈N*，求数列{an}的通项公式

Answer 1

    其实对于解这种类型的数列通项公式，我们需要把所给的等式变形成我们熟悉的数列类型，方法如下：（觉得我下面那方法对你解这类题有触动的话就顶顶啦）

     对数列等式：An+1=[2^(1/2)~1](An+2) 两边同时除以[2^(1/2)~1]^(n+1) 可化简为：

                    An+1/[2^(1/2)~1]^(n+1)=An/[2^(1/2)~1]^n  +  2/[2^(1/2)~1]^n

                 令Bn=An/[2^(1/2)~1]^n ,则有B1=A1/[2^(1/2)~1]=2[2^(1/2)+1]

               则关于数列 {An}的等式就转换为我们熟悉的数列 {Bn}，即：

               Bn+1=Bn +  2/[2^(1/2)~1]^n

             则有（Bn+1）~ （Bn ） =2/[2^(1/2)~1]^n

    由裂项求和方法有：

     Bn=(Bn~Bn-1)+(Bn-1~Bn-2)+........+(B3~b2)+(B2~B1）+B1

        =2/[2^(1/2)~1]^（n-1）+ 2/[2^(1/2)~1]^（n-2）+ 2/[2^(1/2)~1]^（n-3）+ .........+2/[2^(1/2)~1] 

^2 + 2/[2^(1/2)~1 ]+  2[2^(1/2)+1]

 

       =2^(1/2).{1 + [2^(1/2)+1]/[[2^(1/2)~1]^(n-2) }

 所以有An=Bn。[2^(1/2)~1]^n 

               =[2  ~  2^(1/2)][2^(1/2)~1]^(n-1) +1]

下面给出图片让你更好的看懂

 

       

 

       

Answer 2

an=√2[(√2-1)^n+1]