Question

如图，在三角形ABC中，角BAC=90度，AB=AC，BE平分角ABC，与AC交于点D，CE垂直BE，连接AE，求证

（1）CE=二分之一BD （2）角AEB=45度

Answer 1

(1)延长CE交BA的延长于F,∵∠AFC+∠ACE=90°,∠ACF+∠CDE=90°,∠CDE=∠ADB,∴∠ABD+∠ADB=90°,∴∠ACF=∠ABD,∴在△ABD和△ACF中,∠BAD=∠CAF,∠ACF=∠ABD,AB=AC,∴△ABD≌△ACF,∴CF=BD,又∵∠ABE=∠EBC,BE=BE,∠BEF=∠BEC=90°,∴△BEF≌△BEC,∴CE=EF,∴CE=二分之一BD
(2)∵AE=EC=EF,∴∠ECA=∠EBA=∠EAC=22.5°,∠ADB=∠DBC+∠BCD=22.5+45=67.5°,∴∠AEB=∠ADB-∠EAC=67.5-22.5=45°
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