Question

[线性代数]特征值的求法

已知三阶矩阵A的特征值为1,1和-2,求出以下行列式的值
|A-E3|,|A+2E3|,|A方+3A-4E3|,能否讲解一下求解的过程，谢谢

Answer 1

因为A的特征值为1,1和-2
故|A-E3|,|A+2E3|,都等于零，（因为特征值就是|A-λE|=0的根）
而|A^2+3A-4E|=|A+4E||A-E|=0

追问

麻烦写一下具体求解的过程，可以吗？他们每一个的特征值如何根据A的特征值求出来？

追答

汗，A的特征值的求法
就是解方程|A-λE|=0啊

故1,1,-2都使得|A-λE|=0

追问

我想问的是如何根据A的特征值求出A-E3,A+2E3,A^2+3A-4E的特征值

追答

没求他们的特征值啊。。。。
晕啊
|A-λE|=0，你把λ=1带入。看一下。

虽然我没求，给你补一下。f(x)是一个多项式
则λ是A的特征值，则f(λ)是f(A)的特征值，且重数一致。

追问

那怎么一下就知道他们行列式的值等于零呢？不是所有特征值的积等于它行列式的值吗？不分别求出它们的特征值，怎么一下就知道它们行列式的值就等于0呢

追答

不要看这题，你怎么求A的特征值？？
是不是解方程|A-λE|=0，其中λ为未知数
现在告诉你1是他的解，那么|A-1E|是不是等于0

补充一点：如果你问|A+E|=？
就要用你的方法，因为A+E对应的是x+1这个多项式
所以他的特征值为2,2，-1
故|A+E|=-4