Question

已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为√2,且过(4,-√10).

(2)若直线kx-y-3k+m=0（其中k为参数)所过的定点M恰在双曲线上，求证F1M⊥F2M

Answer 1

解：设双曲线为x^2/a^2-y^2/b^2=1（焦点在X轴上，当然在Y轴上也同样有效）
c/a=√2 c=√2 a c^2=a^2+b^2 得：2a^2=a^2+b^2 a=b
所以，双曲线可以写成；x^2-y^2=a^2 把x=4,y=-√10带入得，a=√6
双曲线为：x^2-y^2=6
kx-y-3k+m=0变形，y=k(x-3)+m
故，该直线经过定点M（3，m)
又M点在双曲线上，得9-m^2=6 ; m=+- √3
故，M点坐标为（3，+-√3）
由于曲线的对称性，可取M（3，√3）来验证F1M是否与F2M垂直就可以了。
c=√2 *√6=2√3 可设F1（-2√3，0），F2（2√3，0）
F1M的斜率k1=（√3-0）/(3+2√3)=2-√3
F2M的斜率k2=（√3-0）/(3-2√3)= -2-√3
k1*k2=(2-√3)(-2-√3)= -1
所以：F1M⊥F2M
焦点在Y轴上，可以发现合符题意条件的双曲线不存在。