Question

已知函数f(X)=(ax+1)/(x+2a)在（-2，正无穷）上是增函数，则实数a的取值范围是多少？

不用全部解，我只是有一个点不明白而已。
老师说这道题要先找出它的对称中心(-2a,a)，
1：为什么要先找对称中心
2：怎么找
3：找了之后怎么用？说说思路

Answer 1

二次函数的图像是

或者

 

即是两段的，一段是增函数，一段是减函数，两段的分割点就是函数的对称中心，

所以要先找对称中心

对称中心的找法：先将函数展开f(X)=(ax+1)/(x+2a)=ax²+(2a²+1)x+2a

对于形如y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的函数，其对称中心为(-b/2a , (4ac-b*b)/4a)

 

 

-2应该在对称中心的右边或就在对称中心上

追问

对称中心的找法：先将函数展开f(X)=(ax+1)/(x+2a)=ax²+(2a²+1)x+2a这个是不是错了？本来除法怎么变成乘法啦？

追答

抱歉，之前看错了，以为是二次函数。

更正如下：

f(X)=(ax+1)/(x+2a)=a－2a²/﹙x+2a﹚

它是由一个常数项和一个含x的表达式组成的

介绍一个坐标变换的规则：“左下加，右上减”，即对自变量x加上一个正数a，相当于将图像左移a个单位，对因变量y加上一个正数a，相当于将图像下移a个单位；对自变量x减去一个正数a，相当于将图像右移a个单位，对因变量y减去一个正数a，相当于将图像上移a个单位。

 

对本题，相当于对－1/x的图像左移2a个单位变为－1/﹙x+2a﹚图像（忽略了系数2a²，因为正系数只对图像的大小产生影响，对大致形状无影响），再将－1/﹙x+2a﹚图像上移a个单位变为a－1/﹙x+2a﹚图像.

－1/x的图像如下图所示

 

图像分为两段，以（0,0）为对称中心，平移后对称中心为x左移2a个单位，y上移a个单位,即为(-2a,a)。

 

－1/x的图像虽然在两段上都是增函数，但在整个定义域内不是增函数（因为-1＜1，但在-1点的函数值要大于在1点的函数值）

所以是否为增函数只能在对称中心的左右两段分别讨论才有意义，所以才要先找出对称中心

 

-2应大于或等于对称中心的横坐标-2a

Answer 2

=a (1-2a*a)/(x 2a)由y=1/x平移得

Answer 3

可以先求导，再令导数大于零