Question

如图，圆O的直径AB=6cm，P是AB延长线上的一点，过P作圆O的切线，切点为C,连接AC。

（1）若∠CPA=30°，求PC的长。
（2）若点P在AB的延长线上运动，∠CPA的平分线交AC于点M，你认为∠CMP的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求∠CMP的值。

Answer 1

（1）连接OC
∵PC与圆O切于C
∴OC=OA=r
又∵AB=6cm
∴OC=3cm
又∵∠CPO=30°
∴CO=3根号3cm
（2）
先根据切线的性质得到∠OCP=90°，再利用角平分线和圆周角的性质得到2∠A 2∠APM=90，即∠A ∠APM=45°，利用三角形的外角等于不相邻的两个内角和可知∠CMP=∠A ∠APM=45°，所以∠CMP的大小不发生变化．解答：解：∠CMP的大小不发生变化．（1分）
连接OC，
PC是⊙O的切线，
∴∠OCP=90°．
∵PM是∠CPA的平分线，
∴∠APC=2∠APM．
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠COP=∠A ∠ACO=2∠A．
在Rt△OCP中，∠OCP=90°，
∴∠COP ∠OPC=90°，
∴2∠A 2∠APM=90°，
∴∠CMP=∠A ∠APM=45度．（4分）
即∠CMP的大小不发生变化．
参考资料：菁优网

Answer 2

解：（1）连接OC
∵PC与圆O切于C
∴OC=OA=r
又∵AB=6cm
∴OC=3cm
又∵∠CPO=30°
∴CO=3√3cm

（2）∠CMP的大小不发生变化

证：
∵PC是⊙O的切线，
∴∠OCP=90°．
∵PM是∠CPA的平分线，
∴∠APC=2∠APM．
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠COP=∠A+ ∠ACO=2∠A．
在Rt△OCP中，∠OCP=90°，
∴∠COP =∠OPC=90°，
∴2∠A= 2∠APM=90°，
∴∠CMP=∠A ∠APM=45°．
∴∠CMP的大小不发生变化．

Answer 3

（1）3倍根号3
(2)不变