Question

初中数学题 求高手

如图1，在菱形ABCD中AB=4，∠BAD=120°，M是BC边上的点。
∠BAM=a（0°＜a＜60°），点N在CD边上，∠MAN=60°，AM、AN分别于BD相交于P、Q两点，当∠MAN绕着点A旋转时，M、N、P、Q也随之运动，请解答下列问题：
（1）求证 △AMN是等边三角形
（2）在∠MAN旋转的过程中，当a为何值时，四边形AMCN周长最小？求四边形AMCN周长的最小值。
（3）如图2，当BP=2DQ时，判断PQ与DQ之间的数量关系，并说明理由。

坐等高手。。

Answer 1

解答过程如下：

（1）证明：连接AC。

         因为四边形ABCD是菱形，且∠BAD=120°。

         易得∠ACD=∠BAC=60°，即∠BAM+∠MAC=60°。

         ∠MAN=60°，所以，∠MAC+∠CAN=60°。等量代换，得到∠BAM=∠CAN。

         △BAM和△CAN中，∠BAM=∠CAN，AB=AC，∠ABM=∠ACN=60度。

         △BAM≌△CAN，所以AM=AN，又∠MAN=60°，所以△AMN为等边三角形。                 

（2）解：（1）中证得△BAM≌△CAN，所以BM=CN。

         因此四边形AMCN的周长即为AM+BC+AN的长度，又AM=AN，所以即为2AM+BC。

         在整个运动过程中，AM长度最短的时候即为AM⊥BC时。

         此时a=30°，周长为4×√3/2*2+4=4√3+4。

（3） 易得到△BMP∽△DAP，△DNQ∽△BAQ。

设PQ=xDQ

BP/DP=BM/DA,DQ/BQ=DN/AB

BP/DP+DQ/BQ=BM/DA+DN/AB

其中AD=AB=4,BM+DN=4

2DQ/(DQ+XDQ)+DQ/（2DQ+xDQ）=1

即2/（1+x）+1/（2+x）=1，

解得x=√3（舍去-√3）

 

下面的图片直观一点，我不会打出分式，不好意思。

Answer 2

才5分，不做

Answer 3

时隔七年忘光了